Умножение на однозначное число

§ 1.Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например, 27 X 8) выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (20X8 = 160), затем единицы (7*8 =56) и оба результата складывают.

Еще примеры:

34*7=30*7 4*7=210 28=238

17*6=40*6 7*6=240 42=282

§ 2.Полезно знать на память таблицу умножения до 19*9:

I 001.png


Зная эту таблицу, можно умножение например, 147*8 выполнить в уме так: 147*8-140*8 7*8= 1120 56= 1176

§ 3Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители.

Например:

225*6=225*2*3=450*3=1350


Умножение на двузначное число

§ 4Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют действие, как указано в § 1.

Например:

6*28=28*6=120 48=168

§ 5.Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы.

Например:

29*12=29*10 29*2=290 58= 348

41*16=41*10 41*6 = 410 246 =656

(или 41*16=16*41 = 16*40 16*1=640 16=656)

Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.

§ 6.Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (напр., 14 = 2*7), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз (ср. § 3).

Например:

45*14 =90*7=630

Умножение на 4 и на 8

§ 7.Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают.

Например:

112*4 =224*2=448

335*4 = 670*2 =1340

§ 8.Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают.

Например:

217*8 = 434*4=868*2=1736

(Eще удобнее: 217*8=200*8 17*8= 1600*13=1736).

Деление на 4 и на 8

§ 9.Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам.

Например:

76:4 =38:2=19

236:4=118:2=59

§ 10.Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам.

Например:

464:8=232:4=116:2=58

516:8=258:4=129:2= 64 1/2

Умножение на 5 и на 25

§ 11.Чтобы устно умножить число на 5 умножают его на 10/2, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам.

Например:

74*5= 740:2= 370

243*5=2430:2=1215

При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль.

Например:

74*5 = 74/2*10=370

§ 12.Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на 100/4 , т. е.—если число кратно 4-х —делят на 4 и к частному приписывают два ноля.

Например:

72*25=72/4*100= 1800

Если же число при делении на 4 дает остаток, то прибавляютпри остатке: к частному

1 252 503 75

Основание приема ясно из того, что

100:4=25;200:4=50;300:4=75

Умножение на 11/2, на 1 1/4, на 21/2, на 3/4

§ 13.Чтобы устно умножить число на 11/2 прибавляют к множимому его половину.

Например:

34*11/2 = 34 17=51

23*11/2=23 111/2 = 341/2 (или 34,5)

§ 14.Чтобы устно умножить число на 11/4 Прибавляют к множимому его четверть.

Например:

48*11/4 =48 12=60

58*11/4 = 58 14 1/2=721/2 или 72,5

§ 15Чтобы устно умножить число на 21/2. к удвоенному числу прибавляют половину множимого.

Например:

18*21/2.=36 9= 45;

39*21/2.= 78 191/2.= 971/2 (или 97,5)

Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам:

18*21/2 = 90:2 = 45

§ 16.Чтобы устно умножить число на 3/4 (т. е. чтобы найти 3/4 этого числа), умножают число на 11/2 и делит пополам.

Например:

30 * 3/4 = (30 15)/2= 221/2 (или 22,5)

Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины.

Умножение на 15, на 125, на 75

§ 17Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 11/2, (потому что 10*11/2 =15)

Например:

18*15=18*11/2*10=270

45*15=450 225=675

§ 18.Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 11/4 (потому что 100*11/4=125).

Например:

26*125 = 26*100*11/4 = 2600 650 = 3250

47*125 = 47*100*11/4 = 4700 4700/4= 4700 1175 = 5875

§ 19.Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на 3/4 (потому что 100*3/4=75).

Например:

18*75= 18*100*3/4 =1800* 3/4 =(1800 900)/2=1350

Примечание. Некоторые из приведенных примеров удобно выполняются также приемом § 6

18*15 = 90*3 = 270

26*125 = 130*25 = 3250

Умножение на 9 и на 11

§ 20.Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое. Например:

62*9=620-62=600—42=558

73*9=730-73=700—43=657

§ 21Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое.

Например:

87*11=870 87=957

Деление на 5, на 11/2, на 15

§ 22Чтобы устно разделить число на 5, отделяют запятой в удвоенном числ-последнюю цифру.

Например:

68:5=136:10=13,6

237:5 =474:10=47,4

§ 23Чтобы устно разделить число на 11/2 делят удвоенное число на 3.

Например:

36:11/2=72:3=24

53:11/2=106:3=351/3

§ 24.Чтобы устно разделить число на 15, делят удвоенное число на 30.

Например

240:15=480:30=48:3=16

462:15=924:30=3024/30=304/5=30,8 (или 924:30 =308:10=30,8)

Возвышение (возведение) в квадрат

$ 25.Чтобы возвысить в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (8*9=72) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225).

Еще примеры:

252; 2*3=6; 625

452; 4*5= 20; 2025

1452; 14*15 = 210; 21025

Прием этот вытекает из формулы (10х 5)2 = 100х2 100х 25=100х(х 1) 25

§ 26.Сейчас указанный прием приложим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5:

8,52 = 72,25

14,52=210,25

0,352 = 0,1225f и т. п.

§ 27.Так как 0,5= ½, а 0,25 = ¼, то приемом § 25 можно пользоваться также и для возвышения в квадрат чисел, оканчивающихся дробью ½:

(8½ )2 =72 ¼

(14½)2 = 210 ¼ и т п.

§ 28.При устном возвышении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой (a -b)2 = a2 b2 - 2ab.

Например:

412=402 1 2*40= 1601 80= 1681

692=702 1-2*70=4901-140=4761

362 =(35 1)2=1225 1 2*35=1296

Прием удобен для чисел, оканчивающихся на 1, 4, 6 и 9.

Вычисления по формуле(а b) (а-b) = а2 — b2

§ 29.Пусть требуется выполнить устно умножение 52*48

Мысленно представляем эти множители в виде (50 2)*(50—2)и применяем приведенную в заголовке формулу:

(50 2)*(50—2)=502-22= 2496

Подобным же образом поступают во всех вообще случаях, когда один множитель удобно представить в виде суммы двух чисел, другой — в виде разности тех же чисел:

69*71=(70—1)*(70 1)=4899

33*27=(30 3)*(30—3)=891

53*57=(55—2)*(55 2)=3021

84*86=(85-1)*(85 1)=7224

§ 30.Указанным сейчас приемом удобно пользоваться и для вычислений следующего рода:

7 ½*6½=(7 ½ )*(7 — ½)=48 ¾

11 3/4*12 1/4= (12 - 1/4)*(12 1/4) =143 15/16

Полезно запомнить:

37*З =111

Запомнив это, легко выполнять устно умножение числа 37 на 6, 9, 12 и т. п.

37*6=37*3*2=22237*9=37*3*3=33337*12=37*3*4=44437*15=37*3*5 =555 и т. д,7*11*13=1001

Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода:

77*13=100177*26=200277*39=3003 и т. д.91*11=100191*22=200291*33=3003 и т. д.143*7=1001143*14=2002143*21=3003 и т. д.

Практикуясь в сознательном пользовании ими, вдумчивый читатель выработает для себя ряд еще и других приемов, облегчающих вычислительную работу.

Литература

Я.И. Перельман Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета, Ленинград, 1941 г.