Математика как наука развивалась во всем мире постепенно и параллельно. В каждой стране были свои особенности, и в данной статье речь пойдет об Индии и представлениях древних индусов о математических законах.

Особенности развития математики в Индии

Народом, одновременно с греками, стоявшим во главе умственного развития человечества, были индусы. Это положение было занято им, впрочем, значительно ранее греков - в то время, когда греки были ещё скромными учениками египтян, слава о мудрости браминов уже гремела на Востоке. Дошли сведения, что учиться этой мудрости ездили в Индостан и некоторые из греков, именно Пифагор и Демокрит из Абдеры.

Как показывают две великие религиозные системы, созданные индусами, браманизм и буддизм, национальными чертами индусского гения были склонность к философскому созерцанию, к умозрениям, стремящимся проникнуть в самую сокровенную сущность вещей и постичь необъятное и непостижимое, и стремление к построению таких систем философско-религиозного миросозерцания, которые, представляя стройное логическое целое, давали бы ответы на все великие и труднейшие вопросы и загадки, представляемые жизнью макрокосма и микрокосма, вселенной и человека. Направленные исключительно на познание внутренних отношений между вещами, индусские умозрения весьма мало заботились о внешних преходящих формах.

В этом отношении индусы резко отличаются от греков, для которых так много значила форма. Занятия геометрией, как наукой, имеющей очень много дела с формами, должны были поэтому представлять для индуса гораздо менее привлекательности, чем для грека. Другое дело — наука чисел. Уже одно созерцание ряда чисел, уходящего всюду в бесконечность как при своём продолжении в обе стороны, так и в промежутках между каждыми двумя его членами, могло, хотя отчасти и кажущимся образом, приближать мысль к постижению идеи бесконечности. С другой стороны, для ума, имеющего исключительное пристрастие к познанию внутренней природы вещей, очень много привлекательного должно было представлять изучение свойств чисел и взаимных отношений между ними, являющихся так часто поразительными и неожиданными.

Различия в характере национального гения у индусов и греков сказались и в различиях склада и направления способности мышления у тех и других. Индусы придают гораздо более цены результату, чем обоснованию исследования; гораздо более заботятся об ответе на вопрос «как?», чем на вопрос «почему?» В исследовании они обращают внимание главным образом на идеи и представления и гораздо менее на понятия. Вследствие этого, очень много теряя в определённости и строгости, они выигрывают в глубине и широте. При этом указанные выше склонности ума нередко увлекают их так далеко от действительности, что глубина исследования с помощью фантазии обращается в беспредельность, а его широта — в необъятность.

Математика в Индии до V века нашей эры

Отсутствие в нашем распоряжении всяких сведений о математической литературе индусов за время, предшествующее V в. после Р. Х., совершенно лишает нас возможности составить себе хотя общее представление о развитии математики y индусов. Мы имеем за это отдалённое время только одни отрывочные сведения о широком развитии интереса к счислению у индусов, выразившемся в таких фактах, как существование в санскрите, в эпоху создания Махабхараты, следовательно, за много лет до н.э., отдельных независимых друг от друга названий для единиц первых 17 разрядов десятичной системы, или, как рассказ имеющего каноническое значение жизнеописания Будды, Lalitavistara, написанного, как полагают, за 246 лет до н.э., об экзамене Будды из арифметики, на котором он назвал имена всех разрядов чисел до 53-го включительно, и на «мольбу» о счёте, доходящем до пыли первых атомов, и об определении числа их на протяжении одной мили, он ответил решением, представляемым 15-значным числом.

Математика в Индии после V века нашей эры

Большая часть наших сведений о результатах, достигнутых развитием математики у индусов, доставлена находящимися в нашем распоряжении сочинениями трёх индусских астрономов и математиков: Ариабгатты, Брамагупты и Баскары Ахарии, написанными соответственно в начале VI, в VII и XII вв. после Р. Х. Сведения эти не могут претендовать на достаточную широту и глубину как по незначительности числа произведений, известных нам в такой обширной литературе, как индусская, так и в особенности потому, что все они, как посвящённые астрономии, уделяют для изложения того, что может быть для неё нужно из области математики, только одну, две главы.

Из изложения этих глав мы узнаем, что арифметика, алгебра и неопределённый анализ достигли у индусов наивысшей для соответствующих эпох степени развития. Если под алгеброй подразумевать приложение арифметических операций к сложным величинам всякого рода, будут ли они рациональными или иррациональными числами, или пространственными величинами, то индусов следует признать истинными изобретателями этой науки, развитие которой они довели, если иметь в виду современные программы её изложения, до квадратных уравнений включительно. Но особенно высокой степени развития достиг у индусов неопределённый анализ, в области которого они обладали вполне разработанными методами решения в целых числах неопределённых уравнений с двумя неизвестными 1-й и 2-й степеней. Из этих методов тот, который, под именем «циклического» они употребляли для решения неопределённых уравнений 2-й степени, по своему утончённому остроумию превосходит решительно всё, что было сделано в области теории чисел до Лагранжа. Да и самый этот метод европейские математики, в лице Лагранжа, вторично нашли независимо от индусов только около 1769 г..

Геометрия в Индии

Если таким образом в области науки чисел индусы в своё время стояли во главе развития математики, то ничего подобного нельзя сказать о геометрии, в области которой они далеко отставали от греков. Да и то, что они сделали в ней более замечательного, как найденное помощью приложения алгебраических методов, должно быть отнесено к области приложений алгебры к геометрии. Для чистой геометрии, в том виде, в каком она сформировалась, например, у греков, индусы сделали сравнительно немного.

Главную причину такой отсталости индусской геометрии от греческой едва ли не следует видеть в различии приёмов доказательства, употребляемых тем и другим народом в области этой науки. В то время как греки пользовались для этого строго определёнными логическими построениями, индусы ограничивались одним непосредственным усматриванием справедливости доказываемого, достигаемым путём продолжительного рассматривания фигуры, снабжённой всеми необходимыми вспомогательными линиями.

Главнейшими вспомогательными средствами при этом, по-видимому, служили принцип совпадения вместе с вытекающим из него, в качестве особого случая, принципом симметрии и принцип подобия. С помощью этих принципов, при условии их полного и точного определения, могло бы быть развито всё содержание геометрии и притом не в форме конгломерата, как в элементах Эвклида, а в строгой систематической форме, в которой прогресс науки был бы руководим идеями не случайного происхождения, а лежащими в существе предмета.

С тригонометрией индусов находящиеся в нашем распоряжении сочинения знакомят только по её приложениям к астрономии. Но и этого достаточно, чтобы видеть, что она настолько же отличается от греческой, насколько все арифметическо-алгебраическое направление математического гения индусской нации отличается от греческого национального направления. Всего яснее это выражается в способах составления тригонометрических таблиц. В то время, как греческие астрономы пользовались для этого целыми хордами, соответствующими двойным центральным углам, индусы составляли свои таблицы с помощью синусов, косинусов и синусов-версусов и существующей между ними зависимости, исходя из определяемых с помощью геометрии величин sin 30° и sin 45°. Это даёт нам право заключить, что тригонометрия у индусов разрабатывалась как один из отделов приложений алгебры к геометрии, т.е. в той же форме, какую она имеет и в настоящее время.