Парадокс спящей красавицы — парадокс теории вероятностей. Парадокс представляет собой вероятностную задачу, которая имеет несколько различных, по-своему правильных ответов, и демонстрирует, как можно манипулировать статистикой.

История

Автором парадокса считается Адам Элга. В 1999 году задача вызвала споры в Usenet. Испытуемой («Спящей красавице») делается укол снотворного. Бросается симметричная монета. В случае выпадения орла: её будят, и эксперимент на этом заканчивается. В случае выпадения решки: её будят, делают второй укол (после чего она забывает о побудке) и будят на следующий день, не бросая монеты (в таком случае эксперимент идёт два дня подряд). Вся эта процедура Красавице известна, однако у неё нет информации, в какой день её разбудили.

Спящая красавица.jpeg

Представьте себя на месте Спящей красавицы. Вас разбудили. Какова вероятность того, что монета упала решкой?

Решение 1

У вас нет никакой информации о результате выпадения монеты и предыдущих побудках. Поскольку известно, что монета честная, можно предположить, что вероятность решки ½.

Решение 2

Проведём эксперимент 1000 раз. Спящую красавицу будят в среднем 500 раз с орлом и 1000 раз с решкой (т.к. в случае решки спящую красавицу спрашивают 2 раза). Поэтому вероятность решки 2⁄3.

Решение 3

½ — это вероятность решки при всей известной Красавице информации. Вероятностное пространство здесь таково: 1-й день, орёл — ½; 1-й день, решка — ¼; 2-й день, решка — ¼.

А 2⁄3 в таком случае — это действительная доля пробуждений с решкой с учётом того, что каждая решка даёт два пробуждения, а каждый орёл — одно.

Продолжение истории Спящей красавицы

Существует вторая задача со Спящей красавицей, которая живет в лаборатории уже продолжительное время. Рядом с её кроватью стоит прозрачный ящик, в котором она видит монету, но не может трогать. Через некоторое время она замечает, что решка всегда следует парами: если сегодня выпала решка, то завтра будет решка, а послезавтра — орёл или решка с вероятностью ½.

Однажды экспериментатор приходит со стирающим кратковременную память уколом (долговременные наблюдения остались). Считаем, что день выбирается наугад независимо от результатов выпадения монеты. Красавица просыпается — какова вероятность решки?

Похожие задачи с парадоксами

Парадокс рассеянного водителя

Рассеянный профессор, засидевшись на кафедре до поздней ночи, садится в машину и возвращается домой. Правильный путь — свернуть направо на втором перекрёстке (штраф 0). Если он свернёт на первом перекрёстке, он попадёт в криминальный район — штраф 4. Если пропустит второй перекрёсток, через 20 километров будет мотель, в котором можно переночевать — штраф 3. Проблема в том, что из-за рассеянности и усталости профессор не помнит, проехал он первый перекрёсток или нет, а в свете фар перекрёстки неразличимы.

Стратегия «как только увидишь перекрёсток, поворачивать направо», конечно же, была отброшена — получается штраф 4. Куда полезнее стратегия «пропустить оба перекрёстка», со штрафом 3.

Итак, профессор решил воспользоваться второй стратегией. Подъезжает к перекрёстку, и у него возникает мысль: «Вероятность ½, что я на первом перекрёстке, и ½ — что на втором. Тогда средний штраф первой стратегии ½·4 ½·0 = 2 — лучше, чем ехать в мотель». Парадокс?

Парадокс в том, что первая и третья стратегии — разные. Третья — «в 50 % случаев пропустить первый перекрёсток и свернуть на втором, в 50 % — свернуть на первом».

Задача с конвертами

Есть два неразличимых конверта с деньгами. В одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой?

Возможно, Вам также будут интересны статьи:

Кот Шрёдингера

Что такое парадокс Зенона?